Zahnradwerte via Excel akkurat berechnen

Mit Zahnrädern sind sehr präzise Übersetzungen möglich, was Zahnradgetriebe positiv von Riementrieben abhebt. Nur mit Zahnrädern sind daher akzeptabel genau laufende Uhren sowie präzise positionierbare Werkzeugmaschinen und Messgeräte realisierbar. Damit Zahnräder sich jedoch ohne übermäßiges Spiel beziehungsweise zu strengem Lauf abwälzen, müssen deren Werte akkurat berechnet werden.

Während Riementriebe unkritisch herzustellen sind, muss beim Anfertigen von Zahnradgetrieben akribisch auf das Einhalten wichtiger Maße sowie auf die präzise Ausführung der einzelnen Zähne geachtet werden. Nur dann ist garantiert, dass sich Zahnräder sauber abwälzen und Drehmomente ohne übermäßigen Verschleiß der Zähne beziehungsweise unter großem Reibungsverlust übertragen werden können.

Aus diesem Grund ist es wichtig, sich mit den Formeln, Werkzeugen und Messmitteln rund um die Produktion von Zahnrädern auseinanderzusetzen. Es gilt, Zahnräder mit denjenigen Merkmalen anzufertigen, der es ihnen nach Fertigstellung erlaubt, den jeweils vorgesehenen Zweck zu erfüllen. Der Fachmann muss dazu verschiedenste Teilapparatmodelle beherrschen, den Begriff ›Modul‹ kennen und Messmittel sicher anwenden. Während einzelne Zahnräder in der Regel mittels eines manuell bedienten Teilapparats hergestellt werden, greift man für die Serienfertigung auf CNC-Rundtische oder CNC-Teilapparate zurück. Moderne Technik bietet den Vorteil, dass die gewünschte Teilung des Zahnrads direkt in die CNC-Steuerung eingegeben werden kann, für das manuelle Teilen via Teilapparat jedoch das Bruchrechnen anzuwenden ist, damit das benötigte Zahnrad einwandfrei produziert werden kann.

Die Kenntnis von Begriffen, wie etwa ›Kopfspiel‹, ›Achsabstand‹ oder ›Zahnfußhöhe‹ ist eine wichtige Voraussetzung, damit Zahnräder korrekt hergestellt werden. Ganz wichtig in diesem Kontext ist der Begriff ›Modul‹. Der Modul ist nichts anderes, als ein Maß für die Größe der Zähne eines Zahnrades und wird in Millimeter angegeben. Er besitzt das Kürzel ›m‹ und ist das Ergebnis einer Division der Zahnradteilung p durch die Kreiszahl Pi. Wem der Begriff ›Zahnradteilung‹ nichts sagt: Dies ist der Abstand zweier benachbarter Zahnradzähne. Der Modul ist Dreh- und Angelpunkt bei der Zahnradberechnung. Ohne vorab diesen Wert berechnet zu haben, sind keine weiteren Schritte zur Zahnradberechnung möglich.

Dir Teilung p, also der Abstand zwischen zwei Zähnen, ist das Ergebnis einer Multiplikation des Moduls mit der Kreiszahl Pi. Die Zahl aus dieser Berechnung ist das Bogenmaß eines Abschnitts von Zahn zu Zahnlücke. Noch einfacher ausgedrückt: Die berechnete Zahl ist ein Teil des Umfangs vom Teilkreisdurchmesser d.

Dies lässt sich anhand einer Musterrechnung rasch nachprüfen:

Teilkreisdurchmesser d=150mm

Teilkreisumfang=150 * Pi=471,2388mm

Modul m=5

Zähnezahl z=30

Teilung p=m * Pi=15,707963

Teilkreisumfang=p * z=471,2388mm

Aus dieser Musterrechnung kann man ersehen, dass das Bogen- und das Winkelmaß zusammenhängen. In beiden Fällen wird mit einer Zahl der Anteil eines Abschnitts zum Ganzen ausgedrückt.

Der Winkel zwischen dem Bereich Zahn-Zahnlücke (man könnte auch sagen „zwischen Zahnmitte und Zahnmitte“) beträgt 360/30=12 Grad, während das Bogenmaß für exakt diesen Winkel bezogen auf den Teilkreis von 150 Millimeter Durchmesser 15,707963 Millimeter beträgt.

Es ist eine Zahnradkombination gewünscht, die es erlaubt, eine Drehzahl von 100 auf 66,67 Umdrehungen pro Minute zu senken. Das Übersetzungsverhältnis beträgt also 1,5:1. Besitzt das treibende Rad einen Teilkreisdurchmesser von 100 Millimeter, so muss das getriebene Rad einen Teilkreisdurchmesser von 100 * 1,5=150 Millimeter besitzen.

Die Wahl des passenden Moduls ist eine wesentliche Überlegung bei der Herstellung von Zahnrädern. Dazu ist zu ermitteln, welcher Belastung die Zähne ausgesetzt sind, also welches Drehmoment auf diese einwirkt. Entsprechend muss der Modulwert gewählt werden, damit die Zähne groß genug sind, um die Last aufzunehmen. Doch gilt es auch zu berücksichtigen, dass zu große Zähne das Laufgeräusch und den Kraftbedarf durch den höheren Widerstand beim Abwälzen der Zähne erhöhen. Es ist also die Erfahrung des Konstrukteurs gefragt, den passenden Modulwert auszuwählen.

Ein Modul von 16 Millimeter ist für große Zähne optimal, in diesem Fall jedoch wohl zu groß. Z1=9; Z2=9 Ein Modul von 16 Millimeter ist für große Zähne optimal. Diese können viel Kraft aufnehmen, laufen jedoch geräuschvoll.

Ein Modul von 1 Millimeter ist für den vorgesehenen Zweck möglicherweise zu klein. Z1=100; Z2=150 Ein Modul von 1 Millimeter erzeugt kleine Zähne. Diese laufen leise, können jedoch nur wenig Kraft aufnehmen.

Ein Modul mit 5 Millimeter ist für den vorgesehenen Zweck optimal. Die Zähne sind nicht zu groß und nicht zu klein. Z1=20; Z2=30 Die Wahl des passenden Moduls ist Sache des Konstrukteurs, der auch die entscheidenden Zahnradmaße berechnet.

Nachdem nun der passende Modulfräser ausgewählt wurde, kann die Zahnradfertigung starten. Während der Fertigung müssen immer wieder die Maße des entstehenden Zahnrads kontrolliert werden, um festzustellen, ob das Sollmaß bereits erreicht ist. Dabei ist zu beachten, dass Zahnräder in einer bestimmten Toleranz hergestellt werden müssen, damit es im Verbund mit anderen Zahnrädern ein sauberes Ineinandergreifen der jeweiligen Zähne gibt. Messmittelproduzenten, wie etwa das Unternehmen Mitutoyo haben für diesen Zweck manuell bedienbare Messgeräte im Portfolio: Für kleinere Zahnräder ein Zahnradmikrometer mit Kugeleinsätzen und für größere Zahnräder eine Bügelmessschraube mit Tellermessfläche.

Wichtig ist zu wissen, dass der Praktiker an der Maschine keinerlei Berechnungen anstellen muss, die das von ihm gefertigte Zahnrad betreffen. Alle Angaben findet er in der zum Zahnrad gehörenden technischen Zeichnung. Seine Fertigkeit begrenzt sich auf das korrekte Kalibrieren der Messmittel, damit die vorgegebenen Zahnradmaße exakt gemessen werden können.

Der Kalibriervorgang ist insbesondere beim Messen mit der Bügelmessschraube wichtig, wenn dieses Messgerät über auswechselbare Kugeleinsätze verfügt und nach jedem Wechsel der Einsätze der Nullpunkt des Messgeräts verloren geht. Beim Einstellvorgang ist zu beachten, dass die Durchmessersumme der beiden Kugeln berücksichtigt wird. Bei einem verwendeten Kugeldurchmesser von fünf Millimeter und Nutzung einer Bügelmessschraube mit dem Messbereich 0 bis 25 Millimeter ist die Referenz also beim Wert zehn, während eine Bügelmessschraube mit dem Messbereich 50 bis 75 Millimeter den Wert 60 als Referenz bekommt.

Heute muss niemand mehr die Prüfmaße mühsam von Hand ermitteln. Dazu stehen leistungsstarke Programme beziehungsweise Excel-Tabellen zur Verfügung. Nichtsdestotrotz ist es natürlich interessant zu erfahren, wie die von diesen Programmen getätigten Rechenschritte aussehen.

Zahnräder mit Evolventenprofil sind heute diejenigen, die am häufigsten angetroffen werden. Diese Zahnform wird insbesondere im Maschinenbau bevorzugt. Wenn Zahnräder mit Evolventenprofil hergestellt werden sollen, stellt sich zunächst die Frage, wie eine Evolvente überhaupt erzeugt wird.

Diese Frage kann man sehr anschaulich mithilfe eines Fadens und eines Kochtopfdeckels gleich selbst beantworten: Ein Evolventenprofil entsteht automatisch, wenn ein um den Deckel gewickelter Faden durch ziehen am Fadenende stramm gespannt wird und vom Deckel im Uhrzeiger oder Gegenuhrzeigersinn abgewickelt wird. Ein mitlaufender Bleistift würde das Evolventenprofil auf ein Stück Papier kenntlich machen.

Die Evolventenform kann jedoch auch mittels eines CAD-Systems ermittelt werden. Dazu genügt es, einen beliebig großen Kreis zu zeichnen und an diesem eine Tangente entlanglaufen zu lassen. Zu beachten ist allerdings, dass die Länge der Tangente für unterschiedliche Winkellagen berechnet werden muss, damit sich der Fadeneffekt einstellt.

Diese Formel kann noch nicht gelöst werden, da der zu verwendende Winkel noch unbekannt ist beziehungsweise noch nicht erläutert wurde, welcher Winkel hier eingesetzt werden kann. Dazu ist anzumerken, dass im Mittenbereich des Verzahnungsprofils erfahrungsgemäß ein Winkel von etwa 20 Grad vorliegt, der daher genormt wurde und als Eingriffswinkel Alpha bezeichnet wird. Wird dieser Winkel in die Formel eingesetzt, so lautet das Ergebnis für den Grundkreis dg:

Am Grundkreis wird nun der „Faden“ abgewickelt, um das Evolventenprofil für die Zahnradzähne zu erzeugen. Diese Rolle übernehmen Tangenten, die entlang des Grundkreises in einem vorher festgelegten Winkel positioniert werden. Doch dies ist nur die halbe Miete. Vorab muss auch noch berechnet werden wie lang diese Tangenten werden müssen, damit die entlang der Enden der Tangenten sich entlangbewegenden Geraden das Evolventenprofil ergeben.

Wie das Gedankenmodell des Fadens zeigt, sind die Längen der Tangenten nichts anderes als der jeweils gestreckte Bogenabschnitt eines bestimmten Winkels Alpha, der die Punkte O und T einschließt. Dieser Bogenabschnitt ergibt im ausgestreckten Zustand die Strecke T-P. Wird dieser Vorgang mit verschiedenen Teilungswinkel wiederholt, ergeben die aneinandergereihten Punkte P schlussendlich die Evolventenkontur eines Zahnradzahns.

Um die Berechnung dieser Tabelle zu verdeutlichen, nachfolgend ein Beispiel für einen Teilungswinkel von 30 Grad. Zunächst ist es nötig, die fehlenden Winkel zu ermitteln:

Nun können die Elemente des rechtwinkligen Dreiecks ermittelt werden:

Auf diese Weise könnten auch alle Punkte zur Prüfung eines Zahnrades auf Messmaschinen berechnet werden. Doch dies ist nicht im Fokus dieses Artikels. Hier geht es darum, das Zweikugelmaß zu ermitteln, um ein fertiggestelltes Zahnrad auf das Einhalten der Maße überprüfen zu können.

Dazu ist es ganz wichtig zu wissen, dass zur Berechnung des Zweikugelmaßes kein Winkel verwendet wird, dessen daraus resultierenden Konstruktionspunkte für die Zahnradevolvente unterhalb des Teilkreises liegen, da nur ein Berührpunkt oberhalb des Teilkreises eine sichere Anlage der Kugel beziehungsweise eines Drahtes ermöglicht. Sicher geht, wer folgende Formel zur Prüfung verwendet:

Beträgt beispielsweise der Eingriffswinkel 20 Grad und der Öffnungswinkel 18 Grad, so ergibt sich ein Prüfwinkel von 29 Grad, der auf jeden Fall als Mindestwinkel anzusehen ist. Auf der sicheren Seite steht, wer mindestens ein Grad, besser noch mehr Grad aufschlägt.

Um nun das Prüfmaß zur Feststellung der korrekten Fertigung des Zahnrades zu ermitteln, muss zunächst der Berührpunkt zweier Zahnflanken mit einem Prüfkörper ermittelt werden. Diese beiden Berührpunkte liegen exakt gegenüber und werden von einem Kreis durchdrungen. Dieser Kreis kann Bestandteil eines Zylinders oder einer Kugel sein. Es spielt also keine Rolle, welche Körperform bei der Zahnradprüfung zum Einsatz kommt.

Um nun das Prüfmaß zur Feststellung der korrekten Fertigung des Zahnrades zu ermitteln, muss zunächst der Berührpunkt zweier Zahnflanken mit einem Prüfkörper ermittelt werden. Diese beiden Berührpunkte liegen exakt gegenüber und werden von einem Kreis durchdrungen. Dieser Kreis kann Bestandteil eines Zylinders oder einer Kugel sein. Es spielt also keine Rolle, welche Körperform bei der Zahnradprüfung zum Einsatz kommt.

Wenn davon ausgegangen wird, dass ein Teilungswinkel von 30 Grad der nachfolgenden Berechnung zugrunde liegt, so ergibt sich der Durchmesser des Prüfkreises aus folgender Formel:

Gesetzt den Fall, es gäbe eine Kugel oder einen Zylinder mit dem Durchmesser von 12,746 Millimeter, dann würde sich das Zweikugelmaß Mdk wie folgt ergeben:

Durch das Anfertigen eines Zylinders mit dem Durchmesser 12,747 mm könnte man nun mit der Prüfung der produzierten Zahnräder beginnen. Eleganter ist es jedoch, auf die im Handel zu bekommenden Kugeln und Zylinder zurückzugreifen, die diese Arbeit ersparen. Diese besitzen jedoch eine gerade Zahl im Durchmesser, weshalb das Maß Mdk neu berechnet werden muss.

Soll beispielsweise eine Kugel oder ein Zylinder mit dem Durchmesser von 12 Millimeter verwendet werden, so liegt der gesuchte Winkel, der zu diesem Prüfmaß passt, zwischen 28 und 29 Grad. Die Ermittlung des Wertes ist leider nur iterativ möglich, sodass ein Excel-VBA-Programm eingesetzt werden müsste, um die Lösung zu ermitteln. Möglich ist aber auch der Einsatz des Solvers von Excel, der sich für diesen Zweck anbietet.

Bevor der Solver in Excel genutzt werden kann, muss dieser zunächst aktiviert werden, da dies ein Add-In ist, das nicht mit der Installation von Excel automatisch eingebunden wird.

Wie der Solver in Excel 2010 aktiviert wird, können Sie in diesem Kurs nachschlagen (Verweis auf Solver-Einführung)

Dort wird zudem beschrieben, dass der Solver, grob gesagt, nichts anderes ist, als eine Eingabemaske für eine Iterationsschleife, in der ein gesuchter Wert durch automatisches Verändern von Variablen ermittelt wird. Allerdings muss diese Maske mit wohlüberlegten Werten gefüttert werden, damit das gewünschte Ergebnis berechnet wird. Da Rundungsfehler signifikant ins Gewicht fallen können, ist anzuraten, die errechneten Werte kritisch zu betrachten und eventuell einen Korrekturfaktor zu nutzen, der zu große Abweichungen von korrekten Maßen verhindert.

Wie bereits erwähnt, ist es zur Ermittlung des Mdk-Werts nötig, für den Solver-Rechenlauf einen Ziel-Kugeldurchmesser zu verwenden, den frei beschaffbare Kugeln üblicherweise besitzen. Darüber hinaus ist zu berücksichtigen, dass die Kugeln sich möglichst nahe am Teilkreis an die Evolvente der Zähne anschmiegen sollen, jedoch immer oberhalb dieses Maßes am Zahn anliegen müssen. In der zum Download angebotenen Excel-Tabelle ist dieser Bereich im Feld ›Fektorwinkel‹ in grüner Farbe gehalten.

Man erkennt auf einen Blick, wie groß der Kugeldurchmesser mindestens sein muss, damit die Kugel sich oberhalb des Teilkreises an der Evolvente der Zähne anschmiegt. Dieser Wert wird in das Feld ›Messkugeldurchmesser‹ eingegeben, woraufhin die Excel-Tabelle aktualisiert wird und farbige Felder sichtbar werden, die für den Solverlauf wichtig sind.

Grundsätzlich geht es zur Berechnung des korrekten Mdk-Werts bei den Nebenbedingungen darum, dem Solver zusagen, in welchen Grenzen er die Variablen verändern darf, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen. Doch ist es nicht damit getan, den Solver entlang des Wertebandes von 9,505 und 10,064 Millimeter suchen zu lassen, da der Wert des gesuchten Durchmessers von zehn Millimeter näher an 10,064 Millimeter liegt, als am Wert 9,505 Millimeter. Der Unterschied beträgt 0,064 zu 0,495 Millimeter.

Diese Formel verwendet der Solver zum Berechnen der Parameter ›Ankathete a‹ und ›Teilungswinkel‹ aus denen sich der Kugeldurchmesser von 12 Millimeter ergibt. Der Zahnlückenwinkel bleibt außen vor, da dieser aktuell unverändert bleibt. Dieser würde erst dann ins Spiel kommen, wenn das Zahnrad mit einem leichten Spiel gefertigt werden soll. In diesem Fall müsste dieser Wert als dritter Parameter in der Solver-Eingabemaske berücksichtigt werden.

Nach dem Solverlauf wird das Ergebnis wie folgt präsentiert:

Ankathete a = 4,77936 Millimeter

Teilungswinkel = 28,19724 Grad

Werden diese Werte in die Formel eingesetzt, so ergibt sich ein Kugeldurchmesser von genau 12 Millimeter, wie eine Überprüfung mit dem Taschenrechner bestätigt.

Bleibt nur noch die Ermittlung des Zweikugelmaßes Mdk. Dieses Maß ergibt sich aus folgender Formel:

Die eben erwähnte Zweikugelmaßmethode wird für kleinere Zahnräder genutzt. Größere Zahnräder misst man mit einem Tellermikrometer. Dazu muss die Zahnweite Wk ermittelt werden. Um diese zu ermitteln, muss zunächst berechnet werden, wie viele Zähne sinnvollerweise in die Messung einzubeziehen sind. Es sollen folgende Werte angenommen werden:

Modul m: 2 mm

Zähnezahl z: 36

Öffnungswinkel Alpha: 20 Grad

Profilverschiebungsfaktor: 0,3

Berechnung von Involut Alpha:

Die Formel zum Berechnen der Involutfunktion wurde weiter oben bereits durchgenommen, weshalb hier auf eine Wiederholung verzichtet wird. Das Ergebnis bei einem Öffnungswinkel von 20 Grad lautet: 0,0149 Grad.

Zähnezahl für die Messung k:

Zum Ermitteln der für das Messen des Maßes Wk nötigen Zähnezahl ist folgende Formel heranzuziehen:

In der Formel steht der Begriff „Runden“ für die Rechenfunktion „INT“. Es wird die Zahl also als ganzzahliger Wert ohne Nachkommastellen ausgegebene.

Auf diese Weise werden auch die Blacklist umgehende Spam-Mails erfasst, sodass diese künftig nicht mehr zum eigenen PC durchdringen. Dennoch wird es nicht ausbleiben, ab und an die Firewall neu zu ertüchtigen, da es im Laufe der Zeit neue Quellen mit neuen IP-Adressen geben wird, die geblockt werden müssen. Das Problem wird sich wohl erst dann erledigen, wenn die Politik weltweit tätig wird, den Spam-Versendern mithilfe harter Strafen ihr „Handwerk“ zu legen.