Vom Goldenen Schnitt zur Goldenen Spirale

Einem interessanten mathematischen Phänomen auf der Spur

Der Goldene Schnitt ist in der Architektur, der Fotografie, der Malerei und vor allem in der Natur zu finden. Auch wenn er im CAD-Bereich eher selten zu finden ist, lohnt es sich, einen näheren Blick darauf zu werfen, da als Belohnung ein vertieftes Verständnis hinsichtlich des Umgangs mit einem CAD-System wartet.

Das Zeichnen einer Spirale, die dem Goldenen Schnitt folgt, ist keine triviale Aufgabe. Dazu ist zunächst wichtig zu verstehen, welche Regel zu beachten ist, damit sich ein Goldener Schnitt ergibt.

Was ist der Goldene Schnitt?

Der Goldene Schnitt drückt ein bestimmtes Teilungsverhältnis zwischen zwei Größen – etwa zwischen zwei Strecken oder zwischen zwei Flächen – aus. Das Teilungsverhältnis für den Goldenen Schnitt besitzt stets den Wert 1,618 und wird mit dem griechischen Buchstaben Phi (Φ) gekennzeichnet. Die Bezeichnung „Goldener Schnitt“ ist daher eigentlich irreführend. Es wäre viel zielführender, wenn sich der Begriff „Goldenes Teilungsverhältnis“ durchgesetzt hätte, da damit sehr viel besser zum Ausdruck kommt, auf was Maler oder Architekten achten, um Schönheit entstehen zu lassen.

Die Formel zur Berechnung von Phi lautet:

Die Zahl 1,618 taucht immer dann auf, wenn zwei Objekte in diesem Verhältnis kombiniert werden, was unbewusst oder bewusst geschehen kann. Nachfolgend einige Beispiele.

Linie-Linie
Fläche-Fläche
Durchmesser-Durchmesser

Wichtig:

Phi darf nicht mit Pi (π, 3, 141592) verwechselt werden, denn Pi beschreibt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises!

Der Weg zur Goldenen Spirale

In der Natur finden sich viele Beispiele, wo der Goldene Schnitt vorhanden ist. Ob Pflanzen, Menschen oder Tiere, die Schönheit hat ihre Wurzeln im Goldenen Schnitt!

Sogar am eigenen Körper kann dies nachgeprüft werden. Dazu ist es nötig, die Körpergröße sowie den Abstand des Bauchnabels zum Boden zu messen. Anschließend wird die Körpergröße durch den Abstand des Bauchnabels zum Boden geteilt. Das Ergebnis wird sehr nahe am idealen Wert von 1,618 liegen! Allerdings ist darauf zu achten, bei der Messung den Körper gerade und aufrecht zu halten. Also Brust raus und Bauch rein!

Die Goldene Spirale ist das Ergebnis aus Quadraten, bei denen ausgewählte Eckpunkte durch Kreisabschnitte verbunden werden. Diese Quadrate werden aus einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1:1,618 gebildet.

Diese Goldene Spirale kann selbstverständlich auch mit einem CAD-System, wie etwa BeckerCAD gezeichnet werden. Dazu sind zunächst entsprechende Hilfslinien einzuzeichnen, die entsprechend des Seitenverhältnisses von 1:1,618 zu platzieren sind.

Da die Goldene Spirale sich aus Kreisbögen zusammensetzt, ist es sehr einfach, diese Spirale einzuzeichnen. Dazu ist in BeckerCAD der Zeichenbefehl „Bogen dynamisch“ per Klick auf den entsprechenden Button aufzurufen und sind nacheinander die Eckpunkte des jeweiligen Quadrats in der passenden Reihenfolge anzuklicken.

Damit die Schnittpunkte gefunden werden, können diese nach Aktivierung des Zeichenbefehls über die Taste „s“ (Schnittpunkt) beziehungsweise "e" (Endpunkt) gefunden werden.

Nach diesem Schema werden nun alle Bögen in die Quadrate eingezeichnet. Das Ergebnis ist die Goldene Spirale, die in der Natur oder der Architektur vorkommt beziehungsweise genutzt wird.

Zu beachten ist, dass die Spirale endlos fortgesetzt werden könnte, da sich in endloser Schleife immer kleinere Quadrate ergeben, in die Bögen eingezeichnet werden könnten. Jedoch erzwingt die Praxis eine Begrenzung der Iterationen auf eine sinnvolle Anzahl. Mehr als zehn Iterationen bringen wenig, sind jedoch zunehmend zeitintensiver.

Soll die eben erstellte Spirale etwa für eine Feder verwendet werden, so kann diese mit dem Befehl „Dynamisch kopieren“ in das 3D-Fenster kopiert werden, um dies zu bewerkstelligen.

Wird bei Aufruf des Befehls „Schiebekörper Z“ eine Fehlermeldung ausgegeben, liegt der Grund darin, dass die einzelnen Bögen untereinander nicht exakt anschließen.

Daher ist es sehr wichtig, stets sauber zu konstruieren, um derartige Fehler zu vermeiden. Im Zweifelsfall ist es nützlich, den Zeichenbereich zu vergrößern, um auszuschließen, dass die falschen Elemente untereinander verbunden werden.

Tipp:

Um Abweichungsfehler bei aneinanderstoßenden Kanten zu vermeiden, sollte unbedingt die Fangfunktion „Endpunkt“ und NICHT die Schnittpunktfunktion als Fang für kritische Präzisionsarbeiten verwendet werden! Der Grund ist, dass es durchaus vorkommt, dass die Hilfslinien durch Rundungsfehler unsauber platziert sind, was sich optisch erst bei starker Vergrößerung der fraglichen Stelle offenbart. Auf diese Weise werden Bögen vermieden, die untereinander nicht verbunden sind, was zu Folgefehlern bei der Weiterverarbeitung der Spirale führt.

Wenn alles korrekt gezeichnet wurde, kann die 2D-Zeichnung mittels des Befehls „Dynamisch kopieren“ in das 3D-Fenster kopiert werden, wo sie in ein 3D-Gebilde extrudiert werden kann. Dazu bietet sich der Befehl „Schiebekörper Pfad“ (zusammen mit einem passenden 2D-Schiebekörper) oder der Befehl „Schiebekörper Z“ an. Damit ist es möglich, aus der goldenen Spirale beispielsweise ein Schmuckelement für ein Schmiedeteil oder eine Spiralfeder zu erstellen.

Um diesen Weg nachvollziehen zu können, empfiehlt es sich, das untenstehende Video anzusehen!

Video "Vom Goldenen Schnitt zur Goldenen Spirale"

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