Einführung in das Rechnen mit Binärzahlen
Die ersten Schritte zum Relaisrechner
Dass Computer mit Binärzahlen rechnen, ist mittlerweile nahezu Allgemeinwissen. Weniger bekannt ist, wie dies vonstattengeht. Das einfache Beispiel der Umwandlung von drei Dezimalzahlen in ihre Binärwerte sowie deren anschließende Addition vermittelt Einblicke in die Welt der Computer, von wo aus der Bau eines einfachen Relaisrechners à la Zuse nicht mehr weit ist.
Viele Automatisierungsaufgaben lassen sich sehr simpel lösen. Vielfach geht es nur darum, einen Aktor zwischen zwei Endstellungen vor- und zurückzubewegen. Dieser Aktor kann pneumatisch, hydraulisch oder elektrisch bewegt werden. In der elektrisch betriebenen Variante wird ein Elektromotor solange unter Strom gesetzt, bis ein durch ihn bewegter Schlitten eine bestimmte Position erreicht hat, was in der Regel durch Sensoren gemeldet wird.
Computer sind eine faszinierende Errungenschaft der Menschheit, die vielen Menschen unheimlich vorkommen, weil sie die Technik dahinter nicht verstehen. Der Grund ist vielfach, dass – anders als bei mechanischen Maschinen – keine Zahnräder, Hebel und Federn in Bewegung beobachtet werden können, die die Funktion der jeweiligen Maschine begreiflich machen.
Es bietet sich daher an, die Idee von Konrad Zuse aufzugreifen, dessen Rechner Z3, Z4 oder Z11 auf der Relaistechnik fußten. Derartigen Rechnern kann beim Arbeiten zugesehen werden, was für das Verständnis der Arbeit eines Computers von großem Wert ist.
Relaisrechner machen durch das Öffnen und Schließen von Kontakten sehr anschaulich das Binärprinzip deutlich, das auf den Zahlen Null (0) und Eins (1) fußt. In einem Relais ergibt sich durch eine 0 ein offener Kontakt, wodurch ein Stromfluss unterbrochen wird. Die Zahl 1 hingegen bedeutet einen geschlossenen Kontakt, durch den nun Strom fließen kann.
Dieses Prinzip ist auch in Lochstreifen, Kernspeichern sowie Lochkarten zu finden und lässt sich dazu nutzen, Daten zu speichern sowie Berechnungen durchzuführen.
Dazu ist es nötig die uns gewohnten Dezimalzahlen in Binärzahlen umzuwandeln, damit ein Elektronenhirn damit rechnen kann. Die Umwandlung ist zumindest bei kleinen Zahlen recht einfach, da das Binärsystem – beginnend mit der Null – eine Ansammlung von Nullen und Einsen ist, die nach nebenstehendem System angeordnet werden:
Das System zeigt, dass jeweils von rechts nach links im Binärsystem eine 1 dazukommt, wenn sich der Wert der Dezimalzahl um eins erhöht.
Es gibt einen einfachen Weg, durch simple Division aus jeder beliebigen Dezimalzahl die Binärzahl zu ermitteln. Dazu wird die Zahl solange durch zwei dividiert, bis als Ergebnis eine Null herauskommt. Der jeweilige Rest der einzelnen Divisionsschritte bildet dabei – von unten korrekt aneinandergereiht – die gesuchte Binärzahl.
Wichtig:
Die Restwerte müssen, beginnend mit dem letzten Wert (in diesem Fall Schritt 5) von links nach rechts aneinandergefügt werden, damit die Binärzahl korrekt ermittelt wird.
Sind nun Dezimalzahlen in ihre jeweiligen Binärzahlen umgewandelt worden, so können Computer diese Werte nutzen, um sie beispielsweise zu addieren. Dieser Prozess ist einfach nachzuvollziehen, wenn die Vorgehensweise verstanden wurde.
Sollen beispielsweise die Zahlen 28, 29 und 30 addiert werden, so ist wie folgt vorzugehen:
Ergebnis der Addition von 28+29+30 = 87.
Diese Zahl besitzt den Binärwert 1010111.
Möchte man das Ergebnis der Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl überprüfen, so ist dies rasch umgesetzt.
Umwandlung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl:
Das Ergebnis dieser Berechnung ist 87 und dokumentiert, dass die Umwandlung der Zahl 87 in ihre Binärzahl korrekt erfolgte.
Merke:
Werte, die größer als 0 oder 1 sind, müssen als Übertrag behandelt werden, damit Binärzahlen korrekt berechnet werden!
